Viendo publicaciones etiquetadas con matemáticas

MUCHOS SIGLOS ANTES DE HIPATIA YA HUBO MUJERES MATEMÁTICAS

Publicado por: corriente en Artículo hace 5 años, 9 meses

Juan Núñez Valdés. Departamento de Geometría y Topo logía. Universidad de

Sevilla. E-mail: jnvaldes@us.es

Alba V. Olivares Nadal. Departamento de Geometría y Topología. Universidad de

Sevilla. E-mail: alba_3_3_@hotmail.com

Estrella Rodríguez Lorenzo. Departamento de Geometría y Topología.

Universidad de Sevilla. E-mail: estrella_rl17@gmail.com

Marithania Silvero Casanova. Departamento de Geometría y Topología.

Universidad de Sevilla. E-mail: sylnova@hotmail.com

Resumen

Evidentes razones mediáticas (película Ágora de 2009, biografías, documentales...), unidas a razones ciertamente científicas (obra geométrica, estudio de las secciones cónicas...) han convertido la vida de Hipatia de Alejandría (siglo IV d.C.) en un tema de actualidad. Aunque Hipatia es considerada por la mayoría de los investigadores en Historia de la Ciencia como la primera mujer matemática de la Antigüedad, el objetivo de esta ponencia es mostrar que hubo otras mujeres anteriores a ella que, por su obra matemática, pueden ser merecedoras también de tal distinción. Entre ellas, y por orden cronológico, pueden ser citadas Enheduanna (s. XXV a.C.), reconocida como la primera mujer registrada en la historia de la ciencia y también la primera persona que firma sus escritos; Teano de Crotona (s. VI a.C.), que es la que goza de un mayor reconocimiento entre todas ellas, motivado por su pertenencia a la Escuela Pitagórica, y Aglaonike (s. III a.C.), considerada la primera mujer astrónoma de la Antigüedad debido a su capacidad para predecir eclipses.

Palabra clave: Primera mujer matemática, Enheduanna, Teano, Aglaonike, Hipatia de Alejandría.

Introducción

La inmensa mayoría de los libros dedicados a glosar la historia de las mujeres matemáticas, tema de bastante actualidad, considera a Hipatia de Alejandría (siglo IV d.C.) la primera mujer matemática de la Antigüedad, si bien existen otros, aunque en bastante menor número, que otorgan a Teano de Crotona (siglo VI a.C, y por tanto unos novecientos años anterior a Hipatia) este tratamiento.

En esta línea, el principal objetivo de esta Ponencia es mostrar que también existieron otras mujeres dignas de tal distinción; entre ellas destacamos dos: una muy anterior a Teano y otra posterior, pero anterior a Hipatia. Ellas son, respectivamente, Enheduanna (siglo XXV a.C.), reconocida como la primera mujer registrada en la historia de la ciencia y también la primera persona que firma sus escritos, y Aglaonike (siglo III a.C.), considerada la primera mujer astrónoma de la Antigüedad por su destreza matemática y su capacidad para predecir eclipses.

La Ponencia se estructura en cuatro secciones, dedicadas la primera y la tercera a narrar la vida y obra matemática de Enheduanna y Aglaonike, respectivamente, reservándose la segunda (por motivos puramente cronológicos) a la figura de Teano, si bien de forma mucho más breve al ser ya ella bastante más conocida que las anteriormente citadas. En la última sección, a modo de conclusiones, los autores mostramos nuestros propios puntos de vista al respecto.

1. Enheduanna

El nombre de Enheduanna (en otros textos aparece escrito Hedu’anna u otras caligrafías parecidas) proviene en su lengua original babilonia de las palabras: En (gran sacerdotisa), Hedu (ornamento) y Anna (del Dios del Cielo).

Enheduanna, nacida alrededor del año 2300 a.C., era hija de Sargón I el Grande o el Viejo (? 2334/2370 - ? 2314/2279 a. C.), Rey de Akad que al unir Sumeria y Acadia unifica por primera vez toda la cuenca de Mesopotamia bajo un mismo mandato, dando lugar a un gran reino en el que la dinastía sargoniana se mantuvo durante 140 años, entre los siglos XXIV y XXIII a.C.

La importancia científica de Enheduanna proviene del hecho de que Sargón tenía la potestad de dar altos cargos a miembros de su familia, iniciando esa tradición con Enheduanna. Eso le permitió a ella poder tomar parte desde una edad muy temprana en la actividad política desarrollada por su padre, por lo que pudo asumir un papel estratégico en el espacio religioso como Gran Sacerdotisa vinculada a Nanna (diosa de la luna) y a Inanna (diosa del cielo y de la fecundidad) en la ciudad de Ur, y ello le permitió controlar los conocimientos matemáticos y astronómicos de Sumeria y Babilonia, haciendo construir observatorios dentro de los templos, elaborando los primeros mapas sobre movimientos celestes y creando el primer calendario religioso (todavía en uso por algunas religiones).

Para algunos investigadores, Enheduanna es la primera mujer registrada en la historia de la ciencia y también la primera persona que firma sus escritos. Este hecho se debe seguramente a que casi todos los escritos de aquella época los realizaban los escribas por encargo de sus amos, por lo que no firmaban la autoría; sin embargo, la posición de autoridad de Enheduanna le permitió firmar sus escritos, convirtiéndose por ello en la primera persona en ostentar esta característica.

La existencia de Enheduanna se conoce gracias a la inscripción encontrada al dorso de un disco de alabastro descubierto en 1926 y fechado alrededor de 1900 a.C., que ahora se encuentra en el museo universitario de Filadelfia; en la parte posterior de este disco hay una inscripción en la que se explica que ella es hija de Sargón de Akkad, al que le estaba permitido dar altos cargos a miembros de su familia, iniciando esta tradición con Enheduanna.

De ella se conservan más de cuarenta poemas en tablillas cuneiformes, siendo el Nimesara el más conocido de ellos (véase [website1]). Sin embargo, para un mejor entendimiento de la actividad de Enheduanna como científica y como matemática, es necesario tener conocimiento del papel que desempeñaban las mujeres en la sociedad de Mesopotamia.

En general, los hombres y las mujeres mesopotámicas no tenían los mismos derechos, si bien es cierto que en periodos tempranos las mujeres podían comprar, vender, atender a asuntos legales en ausencia de los hombres, tener sus propias propiedades, prestar y pedir prestado e incluso realizar negocios por sí mismas.

Entre los derechos de las mujeres había grandes diferencias entre las de alto y bajo estatus: las mujeres de estatus privilegiado, en donde estaban incluidas las sacerdotisas (como es el caso de Enheduanna), aprendían a leer y escribir para poder ejercer así una autoridad administrativa considerable, al contrario que las de bajo estatus, a las que no les estaba permitido.

Esta concesión de privilegios a las mujeres de alto estatus es precisamente la que permite a Enheduanna denunciar la injusticia que se comete cuando, después de la muerte de su padre, el nuevo gobernante la releva de su posición como suma sacerdotisa; esta denuncia se recoge en uno de sus poemas, cuya traducción vendría a decir lo siguiente:

“A mí, que una vez me senté triunfante, él me ha apartado del santuario. Como una bocanada de aire me hizo volar por la ventana, mi vida se consume. Me alejó de la corona apropiada para el desempeño del sacerdocio. Me dio la daga y la espada- “te pertenece”- me dijo”.

Los sumerios, uno de los primeros pueblos que poblaron Mesopotamia, dejaron en inscripciones grabadas en tablillas de arcilla una rica información sobre sus actividades. Dividían el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos, es decir, utilizaban el sistema sexagesimal, y construyeron tablas para facilitar los cálculos. Desde el punto de vista estrictamente matemático, se conocen tablillas en Babilonia relacionadas con las Matemáticas, conteniendo algunas de ellas los cuadrados de los números de 1 al 60 y cubos del 1 al 32, gracias a las cuales y sobre todo a su posición privilegiada, Enheduanna fue capaz de resolver ecuaciones de hasta grado tres. De ahí que no sea descabellado considerarla, como hacen varios autores, no sólo la primera mujer científica de la antigüedad, sino también la primera mujer matemática de la historia.

Mostramos a continuación un ejemplo de la resolución de estas ecuaciones a partir de esas tablillas. Supóngase que se desea resolver la ecuación x 3 + 2x 2 – 3136 = 0. Los pasos que se daban eran los siguientes:

• Paso 1. Multiplicar por el inverso del coeficiente que acompaña a x 2 , para que su coeficiente sea la unidad. En este caso, multiplicar por 1⁄2: 1⁄2 x 3 + x 2 – 1568 = 0.
• Paso 2. Hacer el cambio de variable y = x/2:
  • x = 2y -> x 3 = 8y^3, x 2 = 4y 2
  • 1⁄2 x³ + x² – 1568 = 0
    -> 4y³ + 4y² -1568 = 0
    -> y³ + y² - 392 = 0
  • 
    y³ + y² = 392.
• Paso 3. Buscar en la tabla el número 392; la solución sería y=7.

  • n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
    n3+n2	2	12	36	80	150	252	392	576	810

• Paso 4. Sin embargo, como lo que se busca no es el valor de y, sino el de x, hay que deshacer el cambio: x = 2y, pero y = 7 ->
  x = 14.

Puede comprobarse que, efectivamente, el valor x = 14 verifica la ecuación 1⁄2x³ + x² – 1568 = 0.

2. Teano

Teano, nacida en Crotona en el año 546 a.C., es para muchos autores la primera mujer matemática de la Antigüedad, a pesar de que en la escuela de los pitagóricos, donde ella estudió, también estudiasen otras mujeres (en la “Vida de Pitágoras” del historiador Giamblico, aparece un listado de estudiantes de esta escuela en el que figuran 17 mujeres).

No se tiene certeza de quién fue realmente el padre de Teano, destacando Milón (mecenas de Pitágoras) [website2, por ejemplo], el físico Brontino [website4], y Pitonacte [website3]. Aunque la mayoría de las fuentes sostienen que Teano fue discípula de Pitágoras y se casó con él cuando éste ya era viejo, a pesar de la diferencia de edad (unos 30 años), Diógenes Laercio pensaba que era hija de Brontino y mujer de
Pitágoras [website3], mientras que para otros doxógrafos Teano era mujer de Brontino y discípula de Pitágoras. Con la descendencia de Teano ocurre igual que con su matrimonio: sigue existiendo una gran confusión al respecto.

En la época de Teano, la mujer estaba marginada de las actividades científicas, pero en la escuela pitagórica no existían prejuicios ni discriminaciones. Teano estudió mucho y trabajó con gran dedicación, por lo que, al cabo de unos años se convirtió en maestra.

Teano fue considerada un modelo de mujer, madre, esposa y filósofa para las demás mujeres; escribió numerosos tratados sobre matemáticas, física y medicina y fue precursora de la investigación científica.

Como el resto de los pitagóricos, Teano pensaba que el Universo estaba regido por el número; la búsqueda de la perfección y la armonía en las formas y proporciones le llevó a trabajar en el número áureo, Φ (de valor aproximado 1.6180), que aparece con mucha frecuencia en la naturaleza y fue el primer número irracional que conocieron los griegos. Es más, el principal trabajo atribuido a Teano versa sobre la proporción áurea.

Este número llegó al conocimiento de Teano por ser el resultado de dividir la longitud de la diagonal entre la longitud del lado del pentágono que aparece en el signo de la escuela pitagórica: el pentagrama.

Las principales obras que se le atribuyen a Teano son una biografía de Pitágoras, un teorema sobre la proporción áurea, varias aportaciones a la teoría de números, a la teoría de poliedros regulares, a la cosmología, al origen del Universo, a la Física, la Medicina, a la Psicología infantil y un trabajo “Sobre la Piedad”. Además, Teano escribió muchas cartas a amigos y conocidos, en las que exponía parte de su sabiduría adquirida.

Tras la muerte de Pitágoras, fue Teano quien se hizo cargo de la escuela pitagórica, con ayuda de su descendencia, consiguiendo difundir los conocimientos matemáticos y filosóficos por Grecia y por Egipto.

3. Aglaonike

Es sabido que Aglaonike, cuyo nombre significa “victoria de la luz”, nació entre el año 200 y el 400 a.C. en Tesalia, Grecia. Su padre, Hegetor de Tesalia, fue quien le permitió adentrarse en los conocimientos de la astronomía a pesar de su condición de mujer, lo cual en la sociedad de aquella época era un hecho infrecuente.

Aglaonike es considerada la primera mujer astrónoma de la Antigüedad, aunque pudieron ser muchas mujeres las que la precedieron, cuyas historias fueron ignoradas.

Debido a su destreza en matemáticas y a su capacidad para predecir eclipses (conocimiento que probablemente obtuvo estudiando los saros babilónicos), Aglaonike era considerada por sus contemporáneos una bruja capaz de hacer desaparecer la luna a su antojo.

Era tal la situación de la mujer en aquella época, que los hombres prefirieron tildarla de hechicera antes que admitir que poseía conocimientos matemáticos y que era capaz de entender y estudiar esta materia. Esto llevó a la creación de una leyenda en torno a Aglaonike que la cataloga como la malvada hechicera sacerdotisa de Hécate, cuya serpiente venenosa acaba matando a la Eurídice del mito de Orfeo, y que nos recuerda un proverbio griego popular en aquellos tiempos: “Sí, tanto como la luna obedece a Aglaonike”.

Aglaonike alcanzó gran popularidad en Grecia, más por la maldad divulgada acerca de ella que por sus méritos científicos, llegando a aparecer en escritos de Platón, Apolonio de Rodas, Horacio y Virgilio entre otros, lo que contribuyó a granjearle el desprecio de sus coetáneos. Sin embargo, parece que Aglaonike pudo usar este temor infundado hacia su persona como manera de manipular, siendo así respetada por miedo a sus posibles conjuros que hacían desaparecer los astros del cielo. “Quien podía hacer desaparecer la Luna” era el apelativo con que se conocía a Aglaonike, un “sobrenombre” que denotaba más temor que admiración.

Los misterios que envuelven a Aglaonike no terminan aquí, pues según algunas fuentes, una tal Aglanice (nombre por el que también es conocida Aglaonike) que vivió entre los años 1900 y el 1800 a.C. en Egipto, hija del faraón Sesostris, estudió la posición exacta de las estrellas y planetas, contribuyendo con sus conocimientos a la arquitectura y ritos egipcios de la época. En cualquier caso, es difícil saber con seguridad si estas dos mujeres fueron una misma, o bien si Aglanice fue otra mujer sabia cuya historia otros se apresuraron a esconder.

Considerada como la primera mujer astrónoma, Aglaonike fue capaz de predecir eclipses. Es muy posible que “conociera los ciclos de eclipses de Saros, descubierto por los caldeos”, y por eso, como dice Carolina Herschel a la que seguidamente nos referiremos, “puede ser calificada como una astrónoma de la antigüedad”, aunque pasó a la posteridad como visionaria más que como científica, a diferencia de Thales de Mileto, por ejemplo, que, aunque también predijo eclipses, pasó a la posteridad como científico o filósofo natural. A Aglaonike se le atribuye el conocimiento del año cíclico lunar (el saros). “Saros es un período caldeo de 223 lunas, lo que equivale a 6.585,32 días (algo más de 18 años y 10 u 11 días), tras el cual la Luna y la Tierra regresan aproximadamente a la misma posición en sus órbitas, y se pueden repetir los eclipses”.

La anteriormente citada Carolina Herschel, nacida en Hannover en 1750, ha sido una de las mujeres astrónomas más importantes de la historia. Carolina vivió 97 años, y por su falta de autoestima y los prejuicios que en esta época había hacia las mujeres, sólo al final de su vida fue reconocido su trabajo. Ha sido la mujer que más ha contribuido al avance de la astronomía de todos los tiempos. En una carta escrita por ella a una de sus hermanas, carta que se conserva en “The Caroline Herschel Visitor Program”, delInstituto Científico del Telescopio Espacial (Hubble), cuyo objetivo es incentivar la participación de la mujer y las minorías de cualquier parte del mundo en proyectos científicos de la institución, Carolina se refiere a Aglaonike, al igual que a otras mujeres matemáticas, en los siguientes términos (véanse [websites 9,10 y 11]):

“William [uno de los hermanos de Carolina, astrónomo real] está lejos, y yo me estoy ocupando de los cielos. He descubierto ocho nuevos cometas y tres nebulosas nunca antes vistas por el hombre, y estoy preparando un Índice a las Observaciones de Flamsteed, junto con un catálogo de 560 estrellas omitidas del British Catalogue, más una lista de erratas de esa publicación. William dice que se me dan bien los números....

A veces, cuando estoy sola en la oscuridad, y el universo revela otro secreto más, digo los nombres de mis antiguas, perdidas y olvidadas hermanas en los libros que registran nuestra ciencia – Aglaonice de Tesalia , Hypatia, Hildegarda, Catalina Hevelius, María Agnesi - como si las mismas estrellas pudieran recordar. ¿Sabías que Hildegarda propuso un universo heliocéntrico 300 años antes que Copérnico? ¿Que escribió sobre la gravitación universal 500 años antes que Newton? ¿Pero quién la escuchó? Sólo era una sirvienta, una mujer.

¿En qué edad nos encontramos, si aquella era la edad oscura? Y lo es también para mi nombre, que también será olvidado, si no soy acusada de ser una hechicera, como Aglaonice, y los cristianos no amenazan con arrastrarme hasta la iglesia, con asesinarme, como le hicieron a Hypatia de Alejandría, la elocuente y joven mujer que ideó los instrumentos empleados para medir con precisión la posición y movimiento de los cuerpos celestes.

4. A modo de conclusión

Los ponentes pensamos que afirmar con rotundidad quién fue la primera mujer matemática de la Antigüedad no es objetivamente posible. Cierto es que en la mayoría de los recientes trabajos sobre mujeres matemáticas (de muy buena calidad casi todos ellos), los investigadores conceden tal honor a Hipatia de Alejandría, aunque, como hemos mostrado en este artículo, esa afirmación es, cuanto menos, discutible. Es verdad que debido a este hecho, o como consecuencia del mismo, Hipatia es la mujer que actualmente goza de tal consideración, ya que es la que tiene mayor popularidad y a la que se le han dedicado más libros y estudios que a las demás, pero en nuestra opinión, eso no es objetivo.

No obstante, es cierto también que nosotros no podemos caer en el error de considerar a las mujeres objeto de este artículo más importantes o dignas de mayor reconocimiento que Hipatia, ya que probablemente investigaciones y estudios posteriores hagan caer por tierra esta consideración. Una de las cosas que sí puede afirmarse con certeza es que, y esto sí es objetivo, son todas ellas muy anteriores a Hipatia.

En cualquier caso, lo único que pretendemos los autores con esta Ponencia es dar a conocer la vida y obra de algunas mujeres matemáticas claramente anteriores a Hipatia en el tiempo, sin pretender entrar en comparaciones de importancia o dignificación. Esperemos haberlo conseguido.

5. Referencias

• [1] Mataix, S. (1999): Matemáticas es nombre de mujer. Rubes Editorial S.L.
• [2] Russel, D, (2007): Hipatia, mujer y conocimiento. KRK Ediciones.
• [3] Salesas Pla, F. (2009): Hipatia la Maestra. Editorial El Rompecabezas. Madrid.
• [website1] http://www.cddc.vt.edu/feminism/enheduanna.html (sobre la vida de Enheduanna)
• [website2] http://hypatia.morelos.gob.mx / (página web de la revista Hipatia, de la Universidad de Morelos (México)).
• [website3] http://www.raco.cat/index.php/index/raco/ (página web de revistas catalanas de acceso abierto).
• [website4] http://www.divulgamat.net/(sobre biografías de matemáticos).
• [website5] http://www.rsme.es/comis/mujmat/mujer-ciencia/ (Sobre mujeres matemáticas. RSME).
• [website6] http://matematicas.lunadelasierra.org/mujeres/ (sobre mujeres matemáticas).
• [website7] http://www.cienciaonline.com/ (sobre divulgación matemática).
• [website8] http://ilce.edu.mx/v5/index.html (página web del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa).
• [website9] http://extempforaneo.net/wordpress/archives/280 (sobre Carolina Herschel).
• [website10] http://www.stsci.edu/institute/sd/ch (sobre el Carolina Herschel Visitor Centre).
• [website11]http://centros5.pntic.mec.es/~barriope/matematicas/web_taller_0203/mujeres/marta/herschel.htm (sobre Carolina Herschel).
• [website12] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/BiogIndex.html (sobre Hipatia de Alejandría).

Modelos matemáticos del cosmos de los indígenas mayas precolombinos

Publicado por: corriente en Artículo hace 5 años, 9 meses

Introducción

Muchas son las investigaciones que se han realizado sobre el arte, la cultura o las ciudades de la civilización maya precolombina. En muchos de esos estudios se ha puesto de manifiesto que los mayas llegaron a tener grandes conocimientos en astronomía y definían con extraordinaria precisión los momentos en que tenían lugar los solsticios, los equinoccios y los eclipses. Incluso, los estudios del códice de Dresde han demostrado que habían aprendido a llevar los cómputos exactos del planeta Venus durante varios cientos de años.

Sabemos por ejemplo que utilizaban un sistema en base 20 y que, posiblemente tratando de unificar el sistema numérico con el sistema calendárico, lo modificaron y utilizaron un segundo sistema de numeración exclusivo para llevar los cómputos del tiempo. Sabemos también que no usaron 20 números sino solo tres y que con esos tres podían escribir todas las cifras. Eso números son el 1, el 5 y el cero.

Sin embargo cuando tratamos de conocer los métodos o las técnicas que utilizaron los indígenas para realizar lo que con frecuencia se llama" las grandes proesas de los astrónomos mayas" nos encontramos con grandes barreras.

No sabemos, por ejemplo, que símbolo usaron para representar los números al cuadrado o al cubo y si utilizaron algún símbolo para expresar las incógnitas. Tampoco sabemos si desarrollaron un sistema similar al álgebra. Aún quedan cientos de símbolos mayas sin descifrar y, tal vez, entre ellos se encuentra la clave a muchas de nuestras interrogantes.

Ignoramos cosas tan elementales como el nombre de sus grandes matemáticos o sus astrónomos, los libros o los teoremas que dejaron y casi la totalidad de los problemas que se plantearon. Así, es más lo que ignoramos que lo que sabemos, realmente la conquista y colonización provocaron una ruptura brutal en términos de acceso al conocimiento del pueblo maya. De esa gran civilización sólo sobrevivieron cinco de sus libros.

Nuestro trabajo tiene como objetivo central explorar otras vías para tratar de encontrar los caminos hacia los conocimientos matemáticos de estos pueblos. No vamos a trabajar sobre los códices, que han sido una de las fuentes primarias de mayor importancia para los investigadores, sino que vamos a iniciar un trabajo guiándonos por las historias míticas y por una serie de pequeños indicios de antiguas técnicas que han quedado regadas en Mesoamérica a lo largo y ancho de cinco siglos. Sobre todo nos centraremos en el análisis de diseños geométricos que son comunes a muchos de los indígenas precolombinos de todo el continente americano.

La historia mítica

Con gran frecuencia los mitos de los pueblos indígenas de América fueron interpretados como sinónimo de leyenda. Es decir, un relato, hermoso tal vez, pero sin valor. Los conquistadores vieron en los mitos curiosos relatos llenos de supersticiones y dioses falsos. Con gran frecuencia los prohibieron.

Sin embargo, en las tradiciones indígenas los mitos son la base de su sistema de enseñanza-aprendizaje. Literalmente, en los pueblos indígenas, la gente aprende con mitos que consideran su historia real. Lo más preciado de sus conocimientos lo guardaban en forma de mitos y habían desarrollado ingeniosos sistemas para preservar los conocimientos. La tradición oral ha demostrado la capacidad de guardar conocimientos con gran precisión durante varios cientos de años.

Basándonos en diversos mitos trataremos de reconstruir hasta donde nos sea posible los modelos del cosmos según los mayas.

La astronomía a simple vista

Los mayas, como muchos otros pueblos a lo largo de la historia se dedicaron a la observación del cielo nocturno. Es difícil aventurarnos a determinar fechas exactas en las cuales se iniciaron como verdaderos astrónomos. Sin embargo, sí podemos decir con claridad que la observación rigurosa del movimiento de los planetas era común entre los pueblos mayas antes de la era cristiana. Según el Pop -Wuj, el libro sagrado de los mayas, mejor conocido como el Popol Vuh, en un tiempo primigenio sus grandes sabios dividieron el cielo en cuatro grandes regiones a las que llamaron los cuatro confines del Universo. Esa división del cielo la podemos expresar como un simple cuadrado al que una línea horizontal y una vertical parten en cuatro. Dentro del cuadrado se inscribe un círculo.

Cada sector estaba asociado a un punto cardinal. Es interesante ver como incluso en la actualidad muchas danzas ceremoniales mayas empiezan por hacer el círculo y dividirlo en cuatro sectores. Para diferenciar cada región le otorgaron un color diferente. Blanco para el norte, amarillo para el sur, rojo para el este y negro para el oeste. Ese fue el modelo más sencillo de división del cielo que se plantearon en los albores de la astronomía.

Un cielo cuadriculado

Para llevar cómputos más precisos de los movimientos de los planetas, el sol y la luna cuadricularon el cielo.

Las cuadrículas del cielo se realizan mediante un proceso muy sencillo y rudimentario pero muy eficaz. Simplemente cogían una hamaca la estiraban, la colocaban contra el cielo nocturno y ya tenían un cielo cuadriculado. Luego veremos como es proceso se profundiza utilizando otros recursos.

La Casa del Mecate

Las escuelas de enseñanza superior entre los Aztecas, lo que vendría a ser, guardando las distancias, como nuestras universidades, fueron llamadas Calmecatl (cal = casa mecatl = mecate o cuerda). Extraño nombre para una escuela de enseñanza superior. Sin embargo, es precisamente allí donde radica una parte esencial de sus conocimientos.

Para todos los pueblos empeñados en tirar conocimientos de las estrellas, el cielo nocturno no solo produjo una gran fascinación sino también innumerables problemas. ¿Cómo se movía el sol? ¿Cómo se movía la luna? ¿Cómo se movían esa cinco extrañísimas estrellas que no eran fijas? ¿Por qué no eran fijas?

Todos los pueblos de astrónomos se enfrentaron a los mismos y complejos dilemas y con frecuencia pasaron mucho tiempo empeñados en resolverlos. Los Mayas (y los Aztecas luego) no serían la excepción. Enfrentados a los mismo retos, sin embargo, le dieron una solución muy original a los conflictos. Para observar el cielo con la mayor rigurosidad aplicaron las técnicas y las artes que habían aprendido en otra disciplina del conocimiento en la cual tenían gran desarrollo. Recurrieron a su conocimiento en la fabricación de telas. Los métodos y las técnicas desarrollados en los telares fueron llevados a la astronomía. Literalmente tramaron el cielo como si se tratara de una urdimbre. La casa del Mecate, Calmecatl es precisamente eso. El lugar donde se aprendían las artes de la astronomía jugando con mecates, con cuerdas, con hilos.

Tenemos entonces, un pueblo que, posiblemente varios siglos antes de cristo ya utilizaba matrices para aplicarlas a desentrañar los misterios del tiempo y del cielo.

Pero una matriz por si sola sigue siendo un espacio abierto, donde cada espacio es idéntico al otro, donde no hay diferenciación y por lo tanto los errores a la hora de registrar fenómenos celestes pueden ser corrientes.

Es probable que la experiencia de trabajo en los telares, donde encontramos los mismos problemas permitió aportar una solución a ese conflicto.

Una curiosa observación

La observación era muy simple y sin embargo tenía un gran potencial de desarrollo. Simplemente habían descubierto que al expresar los números en forma de pirámides estos se ordenaban de arriba hacia abajo mediante una secuencia de números impares. Al descender de la cúspide de la pirámide escalonada contamos en las filas 1,3,5,7,9...etc.

Este sistema permitía también crear un cielo con espacios diferenciados, ordenados en cierta lógica que permitía subdividir el espacio.

Esta misma idea aparece en los versos de Goethe cuando dice: "Para encontrarte en lo infinito has de diferenciar para luego juntar". También con el mismo sentido aparece en el I Ching, el libro sagrado de la cultura China.

De lo impar a lo cuadrado

Si contamos en las filas, la pirámide era una representación de los números impares, pero debió haberles llamado la atención saber que si contamos los números impares acumulados obtenemos los números al cuadrado. Como lo decíamos anteriormente, aún no conocemos el símbolo que utilizaron (si es que lo hicieron) para expresar los números al cuadrado. Sin embargo si contamos con una voluminosa información sobre números al cuadrado expresados en forma de pirámides. Es precisamente en las telas donde se guarda la información y esta tradición sobrevive hasta la actualidad.

Si contamos, en la anterior figura, los espacios de la pirámide en forma acumulativa, de arriba hacia abajo obtenemos números al cuadrado.

Números pares

No todas las pirámides expresaban los números impares. Muy pronto deben haber descubierto la forma de expresar los números pares. Ese es sin duda un conocimiento que viene de la escuela de los telares. Tanto en la forma de preparar la urdimbre como en el uso de los telares de palitos, que son los más tradicionales, nos encontramos los juegos entre lo par y lo impar. Las investigaciones sobre las formas de tejer lo expresan con la mayor claridad:

"Cuando se procede a ejecutar un tejido sencillo, del tipo uno arriba, uno abajo, no existen sino dos posibilidades: los elementos impares se encuentran arriba y los pares abajo, proveyendo de esta manera un espacio entre las dos capas de hilos, para el paso de la bobina"

Todo lo relativo a las informaciones sobre las formas de tejer está inmerso dentro de las relaciones entre lo par y lo impar. Es legendaria incluso en la actualidad la extraordinaria maestría de las tejedoras guatemaltecas. Muchos museos en todo el mundo guardan las telas mayas como obras de arte.

Volviendo a nuestro asunto, tenemos que los números pares también aparecen como un diseño piramidal. En las filas contamos 2,4,6,8,10...etc.

De esta manera tenemos ya expresados de manera gráfica los números pares y los números impares. Tanto para los tejedores como para los astrónomos se abría un campo de grandes posibilidades. En ambas disciplinas es preciso desarrollar diversos sistemas de cómputo para ubicarse en el espacio con facilidad. Para los tejedores el problema es como contar para ubicar los hilos de colores con exactitud. Para los astrónomos el problema era el como contar para seguir la ruta de los planetas.

La suma de los números pares acumulados podemos expresarlos en términos algebraicos como x^2 + x. La acumulada es muy importante para determinar con facilidad un lugar preciso en el espacio. Dentro de la pirámide un planeta podía ubicarse con facilidad en 5^2 + 5 +3 y ese es un lugar exacto. Luego los mayas desarrollarían ingeniosos sistemas de notación que aun no han sido explorados en su totalidad.

Sobre números pares e impares aparece una copiosa información en la cerámica, los glifos y las telas. Las relaciones entre lo par y lo impar nos conduce a la construcción y percepción de sistemas binarios. En el escenario de los telares esa forma de percepción es algo cotidiano, es parte del trajín diario en la confección de las telas.

La mitad del cielo

La suma de lo par y 10 impar se convirtió en la representación de la mitad del cielo. Eso significa que lo que en determinado momento se vio como un espacio cuadrado (segundo mapa del cielo) podía representarse en forma piramidal guardando los valores originales o expresando nuevos valores.

La figura, corresponde al plano de la mitad del cielo con pirámide par e impar, algebraicamente podemos expresarlo como 2x^2 + x.

Desde el punto de vista simbólico, que en la cultura maya era de gran importancia, lo par y lo impar se convirtió en la expresión de los dos elementos o energías que conforman la dualidad.

La dualidad se expresa con los dos elementos de un sistema de significados polivalentes: par-impar, noche-día, bajo-alto, luna-sol, oscuro-luminoso, femenino-masculino, etc.

En determinado momento lo par se puede convertir en impar y viceversa, depende de la perspectiva desde la que se mire el objeto de estudio. Pero en términos de construcción del espacio, la dualidad solo es la mitad de la información que requerimos.

El cielo

La totalidad del espacio, del cosmos, se forma por la reiteración de los dos elementos de la dualidad que se expresan en la trama. Al reiterar lo par y lo impar logramos un cielo perfectamente ordenado, dividido, medible.

Lo par que se expresa abajo, se reitera arriba pero invertido. Es, si se quiere, una visión especular, es como el reflejo de los espejos. Lo impar que se expresa a uno de los lados se reitera también como la prolongación de una imagen en la visión especular.

En este cielo perfectamente ordenado, medible es posible desarrollar y fortalecer el trabajo de los astrónomos con gran precisión. Todo el cielo (excluyendo las diagonales) podemos expresarlo mediante una simple fórmula matemática: 4x^2+2x.

Las diagonales fueron excluidas precisamente porque las consideramos una expresión del cero, y en este modelo solo nos sirven como guías en los cómputos. Pero eso es solo un recurso, una especie de herramienta para facilitar los cómputos, para expresar el orden entre lo par y lo impar. Perfectamente pueden contarse como parte del espacio o tratarse como un espacio particular. Como espacio particular sirve de guía para contar los números al cuadrado. En una pirámide impar basta contar los escalones y elevar el número al cuadrado para saber cuantos espacios tenemos en esa pirámide.

Una nueva perspectiva

Debe observarse que nuestro modelo del cosmos es una pirámide escalonada vista desde arriba. Entonces, podemos formular la siguiente hipótesis: Las pirámides escalonadas son la expresión arquitectónica de un modelo del cosmos.

Las diversas pirámides tendrían entonces que responder a diversos tipos de conocimientos. Ese es un trabajo que de manera más exhaustiva tendríamos que realizarse en las diversas pirámides. Para obtener volúmenes piramidales nos basta con elevar al cuadrado las informaciones que sacamos de los triángulos piramidales.

Debe observarse como al reiterar lo par y lo impar hemos regresado a nuestro primer modelo dividido en cuatro regiones, solo que ahora hemos ganado en profundidad porque aparece en sistemas escalonados donde cada espacio de la matriz puede tener un valor determinado, específico.

Esta forma de expresión aparece con gran frecuencia en las historias míticas cuando dicen que un astro "bajó de la pirámide" o "subió a la pirámide". También se expresa con los personajes que constantemente viajan a los mundos de abajo o los mundos de arriba. Al personificar los planetas y los conocimientos lograban un manejo cotidiano de las informaciones.

Espacio y tiempo

Un modelo arquitectónico del cosmos significa entre otras cosas, que los pueblos mesoamericanos comprendieron las dimensiones espacio- tiempo como una unidad. Los días no solo fueron concebidos como paso del tiempo sino también en su dimensión espacial. Para hablar de espacio y tiempo diversos pueblos mesoamericanos tienen una sola palabra. Por ejemplo, los indígenas bribri de la actualidad, al sur de Costa Rica utilizan la palabra: "Kö". Que significa de manera indistinta tiempo y espacio.

La creación de los calendarios

Los calendarios en mesoamérica no surgen sólo como una expresión de manejo y ordenamiento del tiempo sino también como un manejo del espacio.

egún la historia mítica maya existían trece cielos. Nuestro trabajo nos impulsaba a creer que los mayas habían visto el cielo como una pirámide escalonada. Al construir la pirámide de trece cielos en forma escalonada nos encontramos con 182 espacios.

Cada espacio representa un día. Al dividir la pirámide en dos logramos establecer una relación más estrecha con los sistemas calendáricos. En diversas culturas los grupos de 91 días fueron muy utilizados. Representa una estación del año.

Dentro de la tradición mítica el cielo no aparece solo sino que debajo del cielo está el espacio del inframundo. Esa hipótesis la reafirma la investigación de Leon Portilla sobre los mayas. También la fortalecía la investigación que Alfredo González y Fernando González realizaron sobre la construcción de las viviendas de los indígenas Bribri en Costa Rica.

Las cuatro estaciones

Al agregar el espacio del inframundo al modelo anterior logramos formar nuestro primer calendario.

Lo que anteriormente habíamos llamado los trece cielos, tiene su reflejo en una visión especular y se expresa abajo, invertido.

De esta manera contamos con cuatro sectores de 91 espacios. A esos sectores les llamaremos triángulos piramidales. Si los 91 espacios de cada triángulo los asociamos a los días tenemos 91 x 4 = 364 días. Nuestro modelo es un calendario que cuenta 13 lunas de 28 días cada una. Es decir, es un calendario lunar.

La historia de los soles

Con el afán de profundizar en las historias míticas para extraer de ellas sus conocimientos calendáricos, repetimos nuestro modelo anterior pero eliminando los espacios centrales que están en blanco. De esta manera formamos lo que llamamos el rombo piramidal que se compone de trece niveles hacia arriba y lo que vendría a ser su reflejo, su visión especular, con trece niveles hacia abajo. En la cuadricula total contamos 676 espacios y el sector de la cuadrícula que está en blanco cuenta con 312 espacios. En el centro tenemos el rombo piramidal con 364 espacios.

Esa es precisamente la información que se encuentra en la historia de los soles de los mayas y los aztecas. Es una de sus historias más importantes. Ellos pensaban que el sol moría cada cierto tiempo y que luego se iniciaba un nuevo sol, una nueva época. Contaron cuatro soles diferentes:

• El primer sol duró 676 años (es la cuadrícula total)
• El segundo sol duró 364 años (es el rombo piramidal)
• El tercer sol duró 312 años (es el espacio en blanco de la cuadrícula)
• El cuarto sol duró 676 años (cuadrícula total)

Vemos entonces como en la historia mítica se nos dan elementos importantes para tratar de reconstruir el camino que ellos siguieron en la construcción de sus calendarios. Tenemos literalmente la historia de los soles convertida en un gráfico matemático.

Podemos notar un cambio sustancial con respecto al paso del tiempo. En nuestro análisis habíamos contado los espacios como días mientras que en la historia de los soles cada espacio es un año. Con gran frecuencia en todo los conocimientos indígenas nos encontramos con estos sentidos polivalentes.

El calendario azteca

La historia de los soles fue representada de manera magistral en el centro del calendario azteca.

Los cuatro personajes que se encuentran inscritos en cuadrados justo a los lados de la cara central representan los cuatro soles.
El calendario azteca es también un modelo del cosmos, donde cuentan el anillo de los meses, los anillos correspondientes a los planetas y al final las dos serpientes exteriores que representan la vía láctea.

Entre calendarios y grecas

La información de carácter calendárica o astronómica se presenta de las formas más variadas. Tal vez ese ha sido uno de los grandes impedimentos para poder abordar los problemas relativos a la matemática de los indígenas precolombinos.

Veamos un ejemplo: la Figura 10, Rombo piramidal dividido en cuatro sectores de 91 días. Cuenta 364 días.
Esa misma información relativa al rombo piramidal se encuentra con gran frecuencia expresada de otras formas. Por ejemplo, podemos expresarla en forma de grecas.

Esta es otra forma de expresar lo relativo al calendario de 364 días. Arriba contamos 49 días mientras que abajo contamos 42 días. 49 +42 = 91

Eso quiere decir que en cada franja contamos 182 días para un total de 364 días. Hemos representado de otra forma gráfica el calendario que habíamos analizado en la historia de los soles. Esta forma es también la forma por excelencia para realizar lecturas en los códices precolombinos.

Esa misma información aparece expresada de manera muy clara en las pirámides. Por ejemplo, la pirámide conocida como El Castillo en Chichen Itza, en la península de Yucatán tiene cuatro cuerpos de gradas con 91 gradas cada uno. Es decir cuenta 364 gradas.

Conclusión

Vemos como al utilizar los diseños tradicionales que los indígenas realizaban (y siguen realizando) en sus telas y cerámicas podemos avanzar en la búsqueda de sus calendarios, sus modelos del cosmos y conocimientos matemáticos. De gran ayuda fue también el contemplar su historia mítica como sistema de enseñanza aprendizaje y no como una fábula sin importancia. En este estudio no hemos hecho más que esbozar el tema con el afán de abrir el debate sobre el asunto.

Referencias:

• Wilhelm Richard. I Ching. El libro de las Mutaciones. Editorial Hennes. México D.F. 1986. Pág.126
• Oneale Lila M. Tejidos de los Altiplanos de Guatemala. Ed. José de Pineda Ibarra. Segunda Edición.Tomo I. Guatemala. 1979.
• González Alfredo y González Fernando. La Casa Cósmica Talarnanqueña - Ed. EUNED. San José Costa Rica. 1989.

Autor: Alejandro Jaen Rojas
Universidad Estatal a Distancia

Imagen: By Daniel Schwen - Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=7647000

La matemática en aforismos

Publicado por: corriente en Artículo hace 7 años, 3 meses

por JORGE WAGENSBERG | elpais.es | 11 de enero de 2014

La matemática es un lenguaje pero no solo eso. También es herramienta y método, aunque eso tampoco es todo. Nace en el interior de una mente en particular pero es universal, como la música. Su estructura tiene una belleza y una coherencia sublimes, pero no es arte ni es ciencia. La matemática calcula, resuelve, cuenta, ordena, clasifica, organiza, comprende, describe, conjetura, demuestra, deduce, induce, abstrae, concreta, generaliza, analiza, sintetiza, pregunta, responde, anticipa, registra, simula, proyecta, transforma, ilustra, intuye, instruye, juega, deleita,... todo eso hace la matemática, sí, pero ¿qué es la matemática? Los aforismos que siguen dibujan un principio de respuesta.

1. Dios pudo inventar la física, pero tuvo que aceptar la matemática.
2. La matemática no es ciencia porque no tiene por qué hacer concesión alguna a la realidad.
3. La matemática ayuda a comprender la realidad y puede inspirarse en ella, pero no la necesita para confirmar ni para refutar ninguna de sus proposiciones.
4. El número π, como cociente entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia, nunca será corregido por una medida experimental.
5. Todo lo real es imaginable pero no todo lo imaginable es realizable, por lo tanto: la imaginación es más grande que la realidad entera.
6. La física parece matemática en colores, pero la matemática es más grande que la física en blanco y negro.
7. La realidad tiene la última palabra para validar o para refutar una teoría científica pero ¿qué o quién se ocupa de tal cosa en la matemática?
8. Los matemáticos coinciden en que no todo vale en matemáticas, pero discrepan ante la pregunta ¿existe algo así como la realidad matemática?: la mitad piensa que la pregunta es trivial y la otra mitad que la pregunta no tiene sentido.
9. Lo decía el añorado Ramón Margalef: cualquier ley biológica que se exprese con una fórmula de más de diez centímetros es sospechosa.
10. ¿Qué tienen en común un árbol, una bola de billar, una partida de ajedrez y una depresión?... ¡El número uno!
11. Los números naturales (1,2,3,...) cuentan y ordenan pero no siempre existe una referencia clara para ello: sea pues el número cero y los números enteros.
12. Los números enteros (...-3,-2.-1,0,1,2,3...) resuelven la mayor carencia de los naturales, pero no siempre sirven para dividir o para repartir: sean pues los números racionales.
13. Los números racionales (como el cociente de dos números enteros) resuelven la mayor carencia de los enteros, pero no siempre sirven como solución de una ecuación algebraica (como la raíz cuadrada de dos) o de una relación geométrica (como π): sean pues los números reales.
14. Los números reales resuelven la mayor carencia de los racionales pero no siempre sirven como solución de una ecuación (como la raíz cuadrada de -1): sean pues los números complejos.
15. Los números complejos resuelven, desde detrás del espejo, las carencias de los números reales.
16. La belleza de la matemática, como la belleza de cualquier cosa, es una propiedad interna y procede de la armonía que se da entre las diferentes partes de un mismo todo (como los hexágonos de un panal).
17. La inteligibilidad de la matemática, como la inteligibilidad de cualquier cosa, es una propiedad externa y procede de la armonía que se da entre las partes homólogas de diferentes todos (como los hexágonos del ojo de un artrópodo, del caparazón de una tortuga, de las baldosas de Gaudí...)
18. La belleza es la inteligibilidad interna de las cosas y la inteligibilidad es la belleza externa de las cosas.
19. La matemática tiene padre: es Arquímedes quien en el siglo tercero a.C. intuye casi todo: el cálculo de números como el omnipresente, el cálculo infinitesimal, el cálculo integral, la teoría de los grandes números, la combinatoria, la geometría de las cónicas, la geometría de los poliedros, los volúmenes y superficies de revolución, las sucesiones y series de números, la reducción al absurdo en lógica...

JORGE WAGENSBERG es físico y profesor de Teoría de los Procesos Irreversibles en la Universidad de Barcelona y autor de libros como Si la naturaleza es la respuesta, ¿cuál es la pregunta? y A más cómo, menos por qué (ambos en Tusquets).

Imágenes: Arriba, baldosa diseñada por el arquitecto Antoni Gaudí. Debajo, ojo de una mosca.
Aforismos publicados Babelia, suplemento cultural del diario EL PAÍS.