Crecimientos exponenciales

corriente 1 mes, 1 semana atrás Artículo , Voz Crítica Comentarios

En El hombre que calculaba de Malba Tahan, Beremíz, el calculador, cuenta la historia del origen del ajedrez1. El rey Iadava, señor de la provincia de Taligana en la India se encontraba muy afligido por la muerte de su hijo, el príncipe Adjamir, en medio de una guerra defendiendo su territorio.

Mucho tiempo pasó el rey encerrado en sus aposentos hasta que Lahur Sessa, un joven brahmán2 llegó hasta él con un nuevo juego que simulaba un campo de batalla con el cual comprendió que a veces es necesario el sacrificio de una pieza, inclusive una muy valiosa, para poder obtener la victoria.

El rey quiso premiar al brahmán quien inicialmente rechazó cualquier obsequio. Ante la insistencia del monarca pidió una solicitud bastante extraña para toda la corte:

Me daréis un grano de trigo para la primera casilla del tablero; dos para la segunda; cuatro para la tercera; ocho para la cuarta; y así, doblando sucesivamente hasta la sexagésima y última casilla del tablero.

El rey no pudo dejar de llamar insensato a quien creó el ajedrez, no solo porque pidió su recompensa en granos de trigo, sino porque, para él, en un puñado de trigo «hay un número incontable de granos» y «con dos o tres medidas», pensaba él rey, pagaría sobradamente la petición.

Grande fue su sorpresa cuando sus algebristas, luego de tomarse su tiempo para realizar los cálculos respectivos concluyeron que es una magnitud inconcebible para la imaginación humana y afirmaron lo siguiente:

Calculamos en seguida con el mayor rigor cuántas ceiras correspondían a ese número total de granos y llegamos a la siguiente conclusión: el trigo que habrá que darle a Lahur Sessa equivale a una montaña que teniendo por base la ciudad de Taligana se alce cien veces más alta que el Himalaya. Sembrados todos los campos de la India, no darían en dos mil siglos la cantidad de trigo que según vuestra promesa corresponde en derecho al joven Sessa.

Sabia es la conclusión de Lahur Sessa al señalar las tantas veces que «los hombres más inteligentes se obcecan a veces no solo ante la apariencia engañosa de los números sino también ante la falsa modestia de los ambiciosos». El soberano asumió una «deuda cuya magnitud no puede valorar con la tabla de cálculo de su propia inteligencia».

Todos nos encontramos en la misma posición que el rey cuando lidiamos con números más allá de nuestra imaginación. ¿Cuánto son 40.000 kilómetros? Es la circunferencia de la Tierra. ¿Y cuánto es la distancia al sol? cerca de 150 millones de kilómetros. También dicen 8 minutos y 20 segundos luz, que es una unidad de distancia, no de tiempo. Aunque vemos números allí, son difíciles de comprender y comparar porque no forman parte de las distancias con las que lidiamos diariamente. Ni hablar del tamaño de nuestro Sistema Solar, de la Vía Láctea o de todo nuestro Universo.

No solo padecemos ante los números grandes, sino también, ante los números muy pequeños. Existe a nuestro alrededor un mundo de lo muy pequeño que no podemos ver a simple vista. Existen virus y bacterias, que están compuestos de partes más pequeñas que ellos mismos, que a su vez están integradas por componentes más diminutos de materia. Mi cerebro tan solo sabe que son cosas muy pequeñas, y que unas son más pequeñas que las otras, pero no puede imaginarse realmente lo que quiere decir eso. No cuestionaré al regente del relato porque no estoy seguro de haber reaccionado diferente en su lugar.

La historia del origen del ajedrez no solo nos lleva a reflexionar sobre números muy grandes o muy pequeños, sino también sobre el crecimientos acelerado de los números. Un tablero de ajedrez cuenta con 64 casillas organizadas en 8 filas y 8 columnas, como podemos ver en la siguiente imagen:

Veamos la cantidad de granos de trigo que tendríamos que pagar al brahmán tan solo por la primera fila del talero si incurriéramos en semejante deuda:

2020-06-10_07-31-49_first_row.png

Vemos números muy familiares. En total hay que pagar 255 granos de trigo en esta fila. Tal vez nos baste con un puñado para satisfacer nuestra obligación. Son números que usamos diariamente. No obstante, pensémoslo de otra forma; en tan solo 7 pasos, saltamos de 1 único grano de trigo en la primera casilla, a 128 en la octava. Si habláramos de rentabilidad sería una ganancia bastante considerable: invierto un peso de mi dinero y obtengo 127 extra.

Veamos ahora la segunda fila:

2020-06-11_06-44-39_row2.png

Sumamos 65.280 granos de trigo para un total de 65.535 en lo adeudado al brahmán.

Sigue siendo una cantidad de granos que seguramente un rey puede otorgar. Vemos, no obstante, que creció bastante en comparación a la primera fila. \(255 \times 256 = 65280\), lo cual quiere decir que la segunda fila es 256 veces más grande que la primera.

Veamos ahora las siguientes dos filas, con las que cubrimos la mitad del tablero:

2020-06-11_06-59-20_third_fourth.png

La tercera fila suma a la deuda un total de \(16.711.680\) granos de trigo. Esa cantidad se lee como dieciséis millones setecientos once mil seiscientos ochenta. Al multiplicar la segunda fila por 256, nos encontramos con el total de la tercera fila: \(65280 \times 256 = 16.711.680\). De la segunda a la tercera, el resultado creció, nuevamente, 256 veces. ¿A qué equivale esa cantidad?. El costo de un automóvil o la cuota inicial de una casa (hablando en pesos colombianos).

¿Cuánto crece de la tercera fila a la cuarta?. Si multiplicamos \(16.711.680 \times 256 = 4.278.190.080\). La cuarta fila se lee como cuatro mil doscientos setenta y ocho millones ciento noventa mil ochenta. Podemos ver que entre fila y fila, el total de granos aumenta, siempre, 256.

La primera fila maneja números de un dígito: 1, 2, 4; cifras de dos dígitos: 16, 32; y cifras de tres dígitos: 128. Su total, que es 255 es también de tres dígitos. La segunda fila posee número de tres, cuatro y cinco cifras. La tercera y cuarta fila llega hasta los 8 y 10 dígitos. Los millones y los miles de millones. En tan solo la mitad del tablero hemos realizado un salto abismal y vemos que cada fila es mucho más grande que la que la precede. Conforme avanzamos en nuestro tablero de ajedrez, las cantidades se hacen menos comunes. Rara vez hablamos o hacemos cuentas con miles de millones3.

Las últimas filas las resumiré en las siguientes tablas:

Fila 5
4.294.967.296
8.589.934.592
17.179.869.184
34.359.738.368
68.719.476.736
137.438.953.472
274.877.906.944
549.755.813.888
Fila 6
1.099.511.627.776
2.199.023.255.552
4.398.046.511.104
8.796.093.022.208
17.592.186.044.416
35.184.372.088.832
70.368.744.177.664
140.737.488.355.328
Fila 7
281.474.976.710.656
562.949.953.421.312
1.125.899.906.842.624
2.251.799.813.685.248
4.503.599.627.370.496
9.007.199.254.740.992
18.014.398.509.481.984
36.028.797.018.963.968
Fila 8
72.057.594.037.927.936
144.115.188.075.855.872
288.230.376.151.711.744
576.460.752.303.423.488
1.152.921.504.606.846.976
2.305.843.009.213.693.952
4.611.686.018.427.387.904
9.223.372.036.854.775.808

Y sus resultados los vemos en esta tabla resumen:

5     1.095.216.660.480         
6     280.375.465.082.880       
7     71.776.119.061.217.280    
8     18.374.686.479.671.623.680

La casilla número 64 hospeda un número de 19 dígitos: \(9.223.372.036.854.775.808\). El resultado de la octava y última fila es de 20 dígitos: \(18.374.686.479.671.623.680\). Son números muy grandes que escapan a nuestra imaginación.

El total de granos para todas las casillas del tablero es de \(18.446.744.073.709.551.615\). No hay duda de que es un gran número. Yo, sin embargo, no podría sacar las conclusiones de los algebristas del rey con tan solo verlo. Parece una tarea para matemáticos más competentes.

Hay una forma más simple de obtener el resultado de cada cuadro del tablero. Si enumeramos cada casilla empezando por el número \(1\) (la casilla superior izquierda) hasta la número \(64\) (la casilla inferior derecha), encontramos una forma de hacer el cálculo en función de ese número.

2020-06-16_07-17-25_chess8x8_numbered.svg.png

En matemáticas es muy común darle nombres a los números. Llamemos \(n\) al número que indica la casilla, como vemos en la imagen. Sabemos ya que la primera contiene un único grano. Si elevamos el número \(2\) a la potencia \(0\) nos da \(1\), es decir: \(2^0 = 1\). ¿De dónde salió ese cero?, lo podemos obtener así: \(2 ^{n - 1} = 2 ^ {1 - 1} = 2^0 = 1\). La segunda casilla tiene \(n = 2\), por tanto \(2^{2-1} = 2^1 = 2\). La tercera casilla (\(n=3\)) es \(2^{3-1} = 2^2 = 4\). Hasta ahora cuadra muy bien. La octava casilla nos da \(2^{8-1} = 2^7 = 128\). La casilla número 64 es igual a \(2^{63} = 9.223.372.036.854.775.808\).

Veamos por qué la potenciación nos da el resultado correcto: Recordemos que en cada casilla sucesiva se dobla el resultado de la anterior. La segunda casilla es el resultado de doblar la primera, la tercera es el resultado de doblar la segunda y así sucesivamente. Cada casilla termina siendo el resultado de doblar una o varias veces el primer grano.

La casilla 2: \(1 \times 2 = 2^1 = 2\). La casilla 3 es \(1 \times 2 \times 2 = 2 \times 2 = 2^2 = 4\). La casilla número cuatro es igual a \(1 \times 2 \times 2 \times 2 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\). La octava posición del tablero es el resultado de doblar 7 veces el primer grano de trigo: \(1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^7 = 128\).

Si el brahmán hubiese pedido que los granos en cada posición del tablero se triplicaran respecto al anterior, no usaríamos el 2 como base de la potenciación sino el número 3. La potenciación es una forma mucho más conveniente y resumida de hacer los cálculos.

La matemática nos permite obtener una expresión mucho más compacta no solo para saber la cantidad de granos de cada posición en el tablero, sino también la suma total de granos hasta una posición en el tablero. Veamos cuál es:4, 5

\[S_n = 2^{n+1} - 1\]

Podemos aplicar esta ecuación con \(n = 63\) para calcular el total de granos así: \(2^{63 + 1} - 1 = 2^{64} - 1 = 18.446.744.073.709.551.615\). Esta fórmula generalizada serviría para tableros que sean tan grandes como queramos siempre que sigan la misma regla de duplicarse en cada paso.

Volvamos nuevamente a nuestra dificultad de lidiar con números grandes. ¿Qué diferencia hay entre 5 y 40?. Lo podemos entender porque son cantidades familiares para nosotros. Por ejemplo, podemos pensar en dos personas, de 5 y 40 años respectivamente. Es fácil hacerse una idea de cuánto tiempo ha transcurrido. Es lo mismo que comparar una pena de prisión de 1 año con una de 20 años. Entendemos, más o menos, la diferencia. ¿Y si habláramos de un siglo, que corresponde a 100 años?. Sabemos que la esperanza de vida de las personas se ha acercado considerablemente a un siglo. Hay, incluso, personas que viven más que esa cantidad. Pensemos ahora en un milenio. Se hace más difícil de imaginar, más sin embargo, tenemos una idea de acontecimientos históricos que ocurren en un periodo de tiempo así.

Aumentemos aún más la escala. Los dinosaurios se extinguieron hace cerca de 66 millones de años. La vida en nuestro planeta apareció hace cerca de 3500 millones de años y nuestro planeta tiene «apenas» 1000 millones de años más que la vida que aloja. Un uno seguido de 9 ceros. Todo nuestro universo tiene cerca de 13800 millones de años. No sabemos qué hay antes de nuestro Universo.

La historia narrada en el libro de Malba Tahan nos permite intuir las dificultades que enfrentamos ante números que están fuera de nuestra experiencia cotidiana. Sabemos que hay personas con fortunas tan grandes que podrían vivir cientos o miles de vidas cómodas con ellas. La fortuna de Jeff Bezos se estima en 140.000 millones de dólares, un enorme número de 12 dígitos. Una persona en Colombia gana hoy en día un mínimo de 877.803 pesos, que vendrían a ser como 230 dólares. En un año equivale a 10.533.636, más una prima que equivale a otro mes y otra prestaciones más. Redondeemos a 12 millones. En 50 años serían 600 millones de pesos aproximadamente. Claro, el salario mínimo aumenta (una miseria) cada año, por lo que será más, pero el costo de vida también suele aumentar, o sea que podemos comprar menos con lo mismo. En dólares, equivale aproximadamente a 160.0006 dólares estadounidenses. Si redondeamos a 200.000 dólares, Jeff Bezos es cerca de setenta mil veces más rico que lo que una persona con salario mínimo colombiano ganará en casi toda su vida. La diferencia es enorme, es más o menos como estar en la 1 casilla del tablero de ajedrez, en comparación a la última casilla de la segunda fila, más no olvidemos que comparamos una riqueza actual de un solo individuo con la que tendrá una persona durante 50 años de vida. Si equiparamos tan solo un año de trabajo, la distancia aumentaría. El tablero de ajedrez se ha transformado en nuestra escala. En el juego del ajedrez un peón tiene un valor de una unidad. La reina, que es la pieza más poderosa en cuanto a movimientos equivale a 10 unidades de valor. El rey se considera más valioso porque con el mero riesgo de captura perdemos el juego. La diferencia entre los más ricos y los más pobres es inimaginable, mucho más que la desigualdad entre la realeza en el ajedrez y un simple peón.

Apliquemos ahora la idea del ajedrez a un caso actual: la COVID-19. La tasa de contagio del virus es de entre 2 y 3 personas. Es un promedio que indica cuántos inviduos aproximadamente contagia alguien que tenga el virus. Habrá quien no contagie a nadie y habrá súpercontagiadores (personas que contagian a muchas). Es un número, que al igual que otros, hay que saber entender porque puede escapar a nuestra inteligencia.

En Colombia, el primer caso se detectó el 6 de marzo de 2020;7 a los pocos días, el 9 de marzo, ya se había detectado 3 casos y para el 13 de marzo contábamos 16 contagiados confirmados en el país. El primero de abril habían 1.065 casos lo que quiere decir que en tan solo un mes los confirmados se multiplicaron por 1.000. Es dar en un mes un salto de la primera fila a la segunda del tablero de ajedrez. El primero de mayo contábamos casi 7.000 casos. En tan solo otro mes los contagios se multiplicaron por 7, o, diciéndolo de una manera equivalente, en dos meses se multiplicaron por 7.000. El 23 de mayo habían poco más de 20.000 casos en el país, y en menos de un mes se había más que duplicado esa cifra. Como pueden ver, el crecimiento es comparable con el de la historia que contamos al principio. La COVID-19 tiene un crecimiento exponencial. Conforme avanza el tiempo, se expande cada vez más rápido. De no tomar medidas, en poco tiempo llegaríamos a números impensables.

Claro está, esa curva de crecimiento es tan solo un modelo matemático que tiene en cuenta el tiempo y la tasa de contagio del coronavirus únicamente. Las medidas de aislamiento y bioseguridad, así como el hecho de que quienes se han recuperado son probablemente inmunes (cuando menos por un tiempo) y las variaciones mismas del virus producto de la evolución hacen que el crecimiento se ralentice y puede llegar a reducirlo. Una eventual vacuna puede erradicar al virus. Del mismo modo, el comportamiento, aunque exponencial, varía de país a país, con casos tan dramáticos como los de España e Italia. En Colombia el comportamiento ha sido atípico en comparación con la región; sin embargo, poco a poco nos estamos poniendo al día, y si un día hay casi 50.000, podemos augurar que en un mes se estarán superando los 100.000. Y, a mayor cantidad de contagiados, tanto más serán los muertos.

Las matemáticas nos deben llevar no al pánico sino a estar alertas. Y sobre todo, nos deben enseñar a no ser ingenuos y a no menospreciar el virus, de la misma forma en que el rey de nuestra historia menospreció el pedido de Lassar. Que no conozcamos a un contagiado no quiere decir que la enfermedad no sea tan delicada como realmente lo es. Significa tan solo que no ha pasado el tiempo suficiente. En Colombia la mayoría de casos se han concentrado en Bogotá, Barranquilla, Cartagena y en el Valle del Cauca. En Pereira, capital de Risaralda hay pocos casos por ahora. Por mera estadística, es poco probable conocer a una persona contagiada, por el momento. No nos confiemos ante la apariencia engañosa de los números.

1 Fórmula para la suma hasta una posición del tablero

En general, sea la siguiente suma, la cual llamaremos progresión geométrica

\[S_n = a^0 + a^1 + \ldots + a^n\]

entonces, multiplicando ambos miembros por \(a\):

\[aS_n = a^1 + a^2 + \ldots + a^{n+1}\]

Si se resta la primera ecuación de la segunda:

\[S_n(1-a) = a^0 - a^{n+1}\]

y despejando,

\[S_n = \frac{a^{n+1} - a^0}{a-1}\],

Para el caso, \(a = 2\) que es el caso de nuestra historia tenemos:

\[S_n = \frac{2^{n+1} - 1}{2-1} = 2^{n+1} - 1\]

Notas al pie:

1

En El Genio de China de Robert K.G. Temple, basado en las investigaciones de Needham se afirma que el ajedrez indio proviene realmente de una variante de un juego relacionado con la adivinación, la astrología y el magnetismo originado en China. Sin embargo, el origen en la India sigue siendo la versión más aceptada.

2

En la India perdura un sistema de estratificación social basado en castas, comparable a las clases sociales aunque determinado al nacer. Los brāhmanas son la casta superior y la conformaban sacerdotes y asesores del rey.

3

Hablar de cantidades tan grandes me recuerda el vídeo Carl Sagan hablando sobre el googol y el googleplex. https://www.youtube.com/watch?v=97CWXZa66C4

4

Gracias a Jaime Hernández Gutiérrez por esta parte.

5

Quien esté interesado en conocer la demostración, puede ver la sección al final de este artículo.

6

La tasa de cambio entre divisas cambia casi todos los días. Estas son cifras aproximadas a junio de 2020.